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数论复习笔记

阶与原根 阶 定义 1.1 (阶) 对于 $m \in \mathbb{N}^*, a \in [0, m), (a, m) = 1$，设 $n$ 为满足 $a^n \equiv 1 \pmod{m}$ 的最小正整数，则称 $n$ 为 $a$ 模 $m$ 的阶，记做 $\delta_m(a)$。 关于阶，我们给出如下定理： 定理 1.1 $a, a^2, \cdots, a^{\del...

  • M_sea
  • 2021 年 04 月 05 日
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    • 拉格朗日反演学习笔记

    定义 复合逆 如果 $F(G(x)) = x$，则称 $F(x)$ 为 $G(x)$ 的复合逆，记做 $G^{-1}(x)$。 实际上，如果 $F(x)$ 为 $G(x)$ 的复合逆，那么 $G(x)$ 也一定为 $F(x)$ 的复合逆，即复合逆是相互的关系。 拉格朗日反演 设 $F(x)$ 与 $G(x)$ 互为复合逆，则有以下两个式子 多项式 ln 求出 $D(x)$ 和 $F(x)$...

  • M_sea
  • 2021 年 02 月 09 日
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    • 球与盒子问题学习笔记

    球与盒子问题大杂烩 下面我们对这 $12$ 个问题简略分析。 I 球之间互不相同，盒子之间互不相同。 每个球都可以任意选择一个盒子，答案为 $m^n$。 II 球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。 每个球选择一个盒子，已经被选择过的盒子不能再被选择，答案为 $m^{\underline{n}}$。 III 球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。...

  • M_sea
  • 2021 年 02 月 07 日
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    • 斯特林数复习笔记

    第一类斯特林数 下面只讨论无符号第一类斯特林数。 定义第一类斯特林数 $\begin{bmatrix}n \\ m\end{bmatrix}$ 为 $n$ 个不同元素划分为 $m$ 个互不区分的圆排列的方案数。 递推式 由定义不难得到一个递推式

  • M_sea
  • 2021 年 02 月 06 日
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    • 博弈论学习笔记

    全是定义和结论，没有证明

  • M_sea
  • 2021 年 01 月 07 日
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    • 多项式全家桶重新学习笔记

    咕，咕咕，咕咕咕

  • M_sea
  • 2020 年 10 月 20 日
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    • 杜教筛学习笔记

    一些前置知识 假设我们现在要求一个积性函数 $\mathbf{f}$ 的前缀和 $\mathbf{S}(n)$。 假设我们有一个奇妙的数论函数 $\mathbf{g}$，那么有 unordered_map<int,int> Mmu; int Smu(int n) { if (n<L) return mu[n]; if (Mmu.count(n)) retu...

  • M_sea
  • 2020 年 06 月 13 日
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    • 拉格朗日插值学习笔记

    已知 $n$ 次多项式 $P(x)$ 在 $n+1$ 个点的值 $P(x_0),P(x_1),\cdots,P(x_n)$，则

  • M_sea
  • 2020 年 04 月 21 日
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    • 线性规划学习笔记

    标准型与松弛型 线性规划是这样一类问题： 有一些非负变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$。 这些变量满足一些线性不等式。 最小化/最大化目标函数 $z=\sum_{i=1}^nc_ix_i$。 线性规划问题的标准型为 然后可以证明，这两个问题的最优解是相等的。感性理解可以看 hyj 的文章。 单纯形 我不会，待填

  • M_sea
  • 2020 年 04 月 14 日
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    • Min_25 筛学习笔记

    设 $f$ 为积性函数，且其在质数处的取值 $f(p)$ 是关于 $p$ 的多项式，且其在质数的幂的取值 $f(p^c)$ 能快速计算，则 Min_25 筛可以在 $\mathcal{O}(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n})$ 的时间复杂度内算出 $\sum_{i=1}^nf(i)$。 思路 为了方便，设 $\mathrm{P}$ 为质数集，$p_i$ 为第 $...

  • M_sea
  • 2020 年 02 月 13 日
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