定义
复合逆
如果 $F(G(x)) = x$，则称 $F(x)$ 为 $G(x)$ 的复合逆，记做 $G^{-1}(x)$。
实际上，如果 $F(x)$ 为 $G(x)$ 的复合逆，那么 $G(x)$ 也一定为 $F(x)$ 的复合逆，即复合逆是相互的关系。
拉格朗日反演
设 $F(x)$ 与 $G(x)$ 互为复合逆，则有以下两个式子
$$
[x ^ n] F(x) = \frac{1}{n} [x ^ {-1}] \left(\frac{1}{G(x)}\right) ^ n = \frac{1}{n} [x ^ {n - 1}] \left(\frac{x}{G(x)}\right) ^ n \tag{1} \label{1}
$$
$$
[x ^ n] H(F(x)) = \frac{1}{n} [x ^ {-1}] H'(x) \left(\frac{1}{G(x)}\right) ^ n = \frac{1}{n} [x ^ {n-1}] H'(x) \left(\frac{x}{G(x)}\right)^n \tag{2} \label{2}
$$
$\eqref{1}$ 称作「拉格朗日反演」，$\eqref{2}$ 称作「扩展拉格朗日反演」。
一些题目
大朋友与多叉树
设答案的 OGF 为 $F(x)$，则有
$$
F(x) = x + \sum_{i \in D} F(x) ^i
$$
即
$$
x = F(x) - \sum_{i \in D} F(x)^i
$$
令 $G(x) = F^{-1}(x)$，可知
$$
G(x) = x - \sum_{i \in D} x^i
$$
由拉格朗日反演可得
$$
[x^n]F(x) = \frac{1}{n} [x^{n - 1}] \left(\frac{x}{G(x)}\right) ^ n
$$
注意到 $[x^0] G(x) = 0$，所以我们把上下同时除以 $x$，上式变为
$$
[x^n]F(x) = \frac{1}{n} [x^{n - 1}] \left(\frac{1}{\frac{G(x)}{x}}\right) ^ n
$$
多项式求逆 + 多项式快速幂计算即可。
边双连通图计数
假定读者已经掌握无向连通图计数的相关知识。
设 $D(x)$ 为无向有根连通图的 EGF，$B(x)$ 为无向有根边双连通图的 EGF。下面考虑得到 $D(x)$ 与 $B(x)$ 的关系。
考察根所在的双连通分量：设其大小为 $n$，则其 EGF 为 $\frac{b _ n x ^ n}{n !}$；同时存在一些割边连接了它与一些无向有根连通图的根，每条边的 EGF 为 $nD(x)$，则若干条边的 EGF 为 $\exp(nD(x))$。于是有
$$
D(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{b _ n x ^ n}{n!} \exp(nD(x)) = B(x \exp(D(x)))
$$
设 $F(x) = x \exp(D(x))$，则有
$$
D(x) = B(F(x))
$$
两边换元为 $F^{-1}(x)$ 得到
$$
D(F^{-1}(x)) = B(x)
$$
由扩展拉格朗日反演可得
$$
\begin{aligned}
\![x ^ n] B(x) & = [x ^ n] D(F^{-1}(x)) \\
& = \frac{1}{n} [x ^ {n - 1}] D'(x) \left(\frac{x}{F(x)}\right) ^ n \\
& = \frac{1}{n} [x ^ {n - 1}] D'(x) \exp(-nD(x))
\end{aligned}
$$
多项式 ln、多项式求导求出 $D(x)$ 和 $D'(x)$，然后多项式 exp 计算即可。
点双连通图计数
设 $D(x)$ 为无向有根连通图的 EGF，$B(x)$ 为无向无根点双连通图的 EGF。下面考虑得到 $D(x)$ 与 $B(x)$ 的关系。
可以发现，根可以在多个点双中，且每个点双只在根处相交。所以我们只需要对一个点双计数，然后求 exp 即可。
枚举点双的大小，除了根节点以外的节点都可以挂一个连通图，从而一个点双的 EGF 为
$$
\sum_{i\geq 1} b_{i + 1} \frac{D(x) ^ i}{i!} = B'(D(x))
$$
即
$$
D(x) = x\exp(B'(D(x)))
$$
变形一下得到
$$
B'(D(x)) = \ln \frac{D(x)}{x}
$$
设 $F(x) = \ln \frac{D(x)}{x}$，则有
$$
B'(x) = F(D^{-1}(x))
$$
由扩展拉格朗日反演可得
$$
\begin{aligned}
\![x ^ n] B'(x) & = [x^n] F(D ^ {-1}(x)) \\
& = \frac{1}{n} [x ^ {n - 1}] F'(x) \left(\frac{x}{D(x)}\right) ^ n \\
& = \frac{1}{n} [x ^ {n - 1}] F'(x) \exp(-nF(x))
\end{aligned}
$$
多项式 ln 求出 $D(x)$ 和 $F(x)$，多项式求导求出 $F'(x)$，然后多项式 exp 计算即可。