分析
首先要知道一个性质
$$
\gcd(ij,jk,ki)=\frac{\gcd(i,j)\gcd(j,k)\gcd(k,i)}{\gcd(i,j,k)}
$$
这个东西可以通过唯一分解定理证明。
把这个东西代回去得到:
$$
\begin{aligned}
\text{原式} &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^p\gcd(i,j)\gcd(j,k)\gcd(k,i) \left(\frac{\gcd(i,j)}{gcd(i,k)\gcd(j,k)}+\frac{\gcd(i,k)}{\gcd(i,j)\gcd(j,k)}+\frac{\gcd(j,k)}{\gcd(i,j)\gcd(i,k)}\right) \\
&= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^p\gcd(i,j)^2+\gcd(j,k)^2+\gcd(k,i)^2 \\
&= \left(p\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^2\right)+\left(n\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^p\gcd(i,j)^2\right)+\left(m\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^p\gcd(i,j)^2\right)
\end{aligned}
$$
只要考虑怎么求出
$$
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^2
$$
即可。可以发现就是 这个题 $k=2$ 时的版本,直接复制过来即可。
代码
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// author: M_sea
// website: http://m-sea-blog.com/
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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define re register
typedef long long ll;
using namespace std;
inline int read() {
int X=0,w=1; char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') w=-1; c=getchar(); }
while (c>='0'&&c<='9') X=X*10+c-'0',c=getchar();
return X*w;
}
const int N=2e7+10;
const int mod=1e9+7;
inline int qpow(int a,int b) {
int ans=1;
for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
if (b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
return ans;
}
int n,m;
int p[N],v[N],tot;
int f[N],s[N],sum[N];
inline void sieve(int n) {
v[1]=1,f[1]=1;
for (re int i=2;i<=n;++i) {
if (!v[i]) p[++tot]=i,s[tot]=1ll*i*i%mod,f[i]=s[tot]-1;
for (re int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j) {
v[i*p[j]]=1;
if (i%p[j]==0) { f[i*p[j]]=1ll*f[i]*s[j]%mod; break; }
else f[i*p[j]]=1ll*f[i]*f[p[j]]%mod;
}
}
for (re int i=1;i<=n;++i) sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%mod;
}
inline int calc(int n,int m) {
if (n>m) swap(n,m);
ll ans=0;
for (re int l=1,r;l<=n;l=r+1) {
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
ans=(ans+1ll*(n/l)*(m/l)%mod*(sum[r]-sum[l-1])%mod)%mod;
}
return (ans+mod)%mod;
}
int main() {
sieve(2e7);
int T=read();
while (T--) {
int n=read(),m=read(),p=read();
printf("%d\n",(1ll*n*calc(m,p)+1ll*m*calc(n,p)+1ll*p*calc(n,m))%mod);
}
return 0;
}