Luogu

分析

先考虑所有 $n$ 个点竞赛图的哈密顿回路数之和。可以发现为

$$ (n-1)!2^{{n\choose 2}-n} $$

意思是钦定一个起点(否则会算重),然后哈密顿回路有 $(n-1)!$ 种,剩下的 $2^{{n\choose 2}-n}$ 条边可以任意定向。

再考虑 $n$ 个点的值得记录的竞赛图数。可以发现这个东西等价于 $n$ 个点的强连通竞赛图数。

我们设 $f_n$ 为 $n$ 个点的竞赛图数,$g_n$ 为 $n$ 个点的强连通竞赛图数,则有

$$ \begin{cases} f_n=2^{n\choose 2}\\ g_n=f_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n\choose i}g_if_{n-i} \end{cases} $$

下面那个式子的意思是枚举拓扑序最小的强连通分量的大小,然后这个强连通分量往后面连的边的方向就确定了。

把下面的式子移项得到

$$ f_n=\sum_{i=1}^n{n\choose i}g_if_{n-i} $$

是一个二项卷积的形式,这启发我们设 EGF $F(x)=\sum_{i\geq 0}f_i\frac{x^i}{i!}$,$G(x)=\sum_{i\geq 0}g_i\frac{x^i}{i!}$。

于是有

$$ F(x)=F(x)G(x)+1 $$

$$ G(x)=1-\frac{1}{F(x)} $$

多项式求逆即可。

代码

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//   author: M_sea
//   website: https://m-sea-blog.com/
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#include <bits/stdc++.h>
#define file(x) freopen(#x".in","r",stdin); freopen(#x".out","w",stdout)
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
using namespace std;
typedef long long ll;

int read() {
    int X=0,w=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') w=-1; c=getchar(); }
    while (c>='0'&&c<='9') X=X*10+c-'0',c=getchar();
    return X*w;
}

const int N=400000+10;
const int mod=998244353;
int qpow(int a,int b) { int c=1;
    for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if (b&1) c=1ll*c*a%mod;
    return c;
}

int r[N];
void NTT(int* A,int n,int op) {
    for (int i=0;i<n;++i) if (i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
    for (int i=1;i<n;i<<=1) {
        int rot=qpow(op==1?3:332748118,(mod-1)/(i<<1));
        for (int j=0;j<n;j+=i<<1)
            for (int k=0,w=1;k<i;++k,w=1ll*w*rot%mod) {
                int x=A[j+k],y=1ll*w*A[j+k+i]%mod;
                A[j+k]=(x+y)%mod,A[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
            }
    }
    if (op==-1) { int inv=qpow(n,mod-2);
        for (int i=0;i<n;++i) A[i]=1ll*A[i]*inv%mod;
    }
}
int NTT_init(int n) {
    int lim=1,l=-1;
    for (;lim<=n;lim<<=1,++l);
    for (int i=0;i<lim;++i) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
    return lim;
}

void getinv(int* F,int* G,int n) {
    static int A[N],B[N];
    if (n==1) { G[0]=qpow(F[0],mod-2); return; }
    getinv(F,G,n>>1);
    for (int i=0;i<n;++i) A[i]=F[i],B[i]=G[i];
    int lim=NTT_init(n);
    NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
    for (int i=0;i<lim;++i) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod*B[i]%mod;
    NTT(A,lim,-1);
    for (int i=0;i<n;++i) G[i]=(2ll*G[i]-A[i]+mod)%mod;
    for (int i=0;i<lim;++i) A[i]=B[i]=0;
}

int n,fac[N],ifac[N],F[N],G[N],H[N];

int main() {
    n=read();
    fac[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
    for (int i=n;i;--i) ifac[i-1]=1ll*ifac[i]*i%mod;
    for (int i=0;i<=n;++i)
        F[i]=1ll*qpow(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1))*ifac[i]%mod;
    int lim=1; for (;lim<=n;lim<<=1);
    getinv(F,H,lim);
    for (int i=3;i<=n;++i) G[i]=mod-H[i];
    if (n>=1) puts("1");
    if (n>=2) puts("-1");
    for (int i=3;i<=n;++i) {
        int s=1ll*fac[i-1]*qpow(2,(1ll*i*(i-1)/2-i)%(mod-1))%mod;
        int c=1ll*G[i]*fac[i]%mod;
        printf("%d\n",1ll*s*qpow(c,mod-2)%mod);
    }
    return 0;
}
最后修改:2020 年 10 月 20 日 10 : 14 AM