分析
直接考虑删哪条似乎很不可做的样子，我们考虑枚举删掉哪条然后快速算直径。
把环拉出来，这样子每个环上的点就对应了一颗子树。
显然我们只能删掉环上的边。这里为了表述方便，把环上的点顺时针重编号为 $1\sim sz$ 。
假设当前删掉了 $(x-1,x)$ 。设 $f[i]$ 表示 $i$ 的子树中的节点到 $i$ 的最长路径长度， $sum[i]$ 表示 $i$ 逆时针走到 $x$ 的距离。那么一条路径可以表示为 $f[i]-sum[i]+f[j]+sum[j]$ 。
那么只要 $f[i]-sum[i]$ 和 $f[j]+sum[j]$ 分别最大即可。只要用两个 set 维护就行了。
然后可能会有选出的 $i=j$ 的情况，此时取一个 set 中的最大值和另一个 set 中的次大值即可。
否则可以证明 $i$ 一定在 $j$ 的前面。
考虑一下 $x$ 加 $1$ 变为 $y$ 时发生了什么。
首先所有的 $sum$ 值都要变化，但是答案式子中 $sum$ 相当于作差，所以实际上可以不变。（当然实际值比存的 $sum$ 值小了 $sum[y]$ ）。
然后还要把 $sum[x]$ 重新丢到后面去。因为存的 $sum$ 值比实际值大了 $sum[y]$ ，所以要把 $sum[x]$ 加上环长接在最后面（画图可知）。
然后这题就做完了。最后的答案要和所有子树的直径取个 $\max$ 。
如果以上内容有不理解的建议自己画图。
代码
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// author: M_sea
// website: http://m-sea-blog.com/
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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <set>
#define re register
#define mp make_pair
#define IT multiset<pair<int,int>,greater<pair<int,int> > >::iterator
#define int long long
using namespace std;
inline int read() {
int X=0,w=1; char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') w=-1; c=getchar(); }
while (c>='0'&&c<='9') X=X*10+c-'0',c=getchar();
return X*w;
}
const int N=400000+10;
int n;
struct Edge { int v,w,nxt; } e[N<<1];
int head[N];
inline void addEdge(int u,int v,int w) {
static int cnt=0;
e[++cnt]=(Edge){v,w,head[u]},head[u]=cnt;
}
int eid[N],in[N],fa[N];
int dfn[N],tim=0,top=0;
pair<int,int> cir[N];
int f[N],mx;
int sum[N];
set<pair<int,int>,greater<pair<int,int> > > s1,s2;
inline void find_circle(int u) {
dfn[u]=++tim;
for (re int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
int v=e[i].v; if (v==fa[u]) continue;
if (dfn[v]) {
if (dfn[v]<dfn[u]) continue;
for (re int i=v;i!=u;i=fa[i])
cir[++top]=mp(i,e[eid[i]].w),in[i]=1;
cir[++top]=mp(u,e[i].w),in[u]=1;
return;
}
fa[v]=u,eid[v]=i; find_circle(v);
if (top) return;
}
}
inline void dfs(int u,int fa) {
f[u]=0; int mx1=0,mx2=0;
for (re int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
int v=e[i].v,w=e[i].w;; if (v==fa||in[v]) continue;
dfs(v,u); f[u]=max(f[u],f[v]+w);
if (f[v]+w>mx1) mx2=mx1,mx1=f[v]+w;
else if (f[v]+w>mx2) mx2=f[v]+w;
}
mx=max(mx,mx1+mx2);
}
signed main() {
n=read();
for (re int i=1;i<=n;++i) {
int u=read(),v=read(),w=read();
addEdge(u,v,w),addEdge(v,u,w);
}
find_circle(1);
for (re int i=1;i<=top;++i)
cir[i+top]=cir[i],dfs(cir[i].first,0);
for (re int i=2;i<=top*2;++i) sum[i]=sum[i-1]+cir[i-1].second;
for (re int i=1;i<=top;++i) {
s1.insert(mp(f[cir[i].first]+sum[i],i));
s2.insert(mp(f[cir[i].first]-sum[i],i));
}
int ans=1e18;
for (re int i=1;i<=top;++i) {
int now;
if (s1.begin()->second==s2.begin()->second) {
IT it=s1.begin(); ++it;
now=it->first+s2.begin()->first;
it=s2.begin(); ++it;
now=max(now,it->first+s1.begin()->first);
}
else now=s1.begin()->first+s2.begin()->first;
ans=min(ans,now);
s1.erase(mp(f[cir[i].first]+sum[i],i));
s2.erase(mp(f[cir[i].first]-sum[i],i));
s1.insert(mp(f[cir[i+top].first]+sum[i+top],i+top));
s2.insert(mp(f[cir[i+top].first]-sum[i+top],i+top));
}
printf("%lld\n",max(ans,mx));
return 0;
}