分析
$\text{meet in the middle}$ 。
枚举 $4$ 个数 $a_1,a_2,a_3,a_4$ ，设 $w=a_1+2a_2+3a_3+4a_4$ 。
对于每一种 $w$ 开一个 vector ，记下所有权值为 $w$ 的四元组。
对于当前的 $w$ ，到对应的 vector 中遍历所有四元组，如果两个四元组没有交就说明这八个数可以放在算式里。
设 $cnt_S$ 表示八元组 $S$ 有多少种方法放在算式里。这个在上面那句话时处理出来。
然后只需要枚举所有八元组 $S$ ，设另外八个数组成的八元组为 $T$ ，那么把 $cnt_S\times cnt_T$ 加到答案里去。
这样子会多算一遍，所以最后还要除以二。
代码中四元组、八元组可以用状压实现。
代码
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// author: M_sea
// website: http://m-sea-blog.com/
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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#define re register
using namespace std;
inline int read() {
int X=0,w=1; char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') w=-1; c=getchar(); }
while (c>='0'&&c<='9') X=X*10+c-'0',c=getchar();
return X*w;
}
int a[20],b[5];
int cnt[65536];
vector<int> vec[65536];
int main() {
int _=0;
while (a[1]=read()) {
for (re int i=0;i<65536;++i) cnt[i]=0,vec[i].clear();
for (re int i=2;i<=16;++i) a[i]=read();
sort(a+1,a+17);
for (re int S=0;S<65536;++S) {
if (__builtin_popcount(S)!=4) continue;
for (re int i=1,t=0;i<=16;++i)
if (S&(1<<(i-1))) b[++t]=a[i];
do {
int w=b[1]+b[2]*2+b[3]*3+b[4]*4;
for (re int i:vec[w])
if ((S&i)==0) ++cnt[i|S];
vec[w].push_back(S);
} while (next_permutation(b+1,b+5));
}
int ans=0;
for (re int S=0;S<65536;++S) ans+=cnt[S]*cnt[S^65535];
printf("Case %d: %d\n",++_,ans>>1);
}
return 0;
}