Luogu

BZOJ

分析

分治+最短路。

把所有询问离线。因为是网格图,考虑分治。

假设当前分治的范围是 $(lx,ly)\sim(rx,ry)$ ,询问的范围是 $ql\sim qr$ 。

找到矩形范围的长边,然后用一条中轴线切成两半。

这时每个询问有两种情况:

  • 查询的两点不在中轴线同侧,此时最短路一定经过了中轴线上的某个点。那么对于中轴线上的每一个点,跑最短路,然后更新询问区间内每个询问的答案。
  • 查询的两点在中轴线同侧,此时最短路可能经过中轴线上的某个点。于是与上面一样的处理,然后递归下去处理即可。

时间复杂度是 $O(S\sqrt{S}\log S)$ ,这里的 $S=nm$ 。然而我并不会证这个复杂度

虽然思路很简单但是写起来细节比较多...具体实现和细节见代码。

另外这题在 $\mathrm{Luogu}$ 上比较卡常,建议吸氧。

代码

// =================================
//   author: M_sea
//   website: http://m-sea-blog.com/
// =================================
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#define re register
using namespace std;

template<typename T>
inline void chkmin(T& x,T y) { if (y<x) x=y; }
inline int read() {
    int X=0,w=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') w=-1; c=getchar(); }
    while (c>='0'&&c<='9') X=X*10+c-'0',c=getchar();
    return X*w;
}

const int N=20000+10;
const int M=100000+10;

struct Edge { int v,w,nxt; } e[N<<2];
int head[N];

int n,m,Q;
int dis[N],x[N],y[N],ans[M];
struct Query { int id,s,t; } q[M],lq[M],rq[M];

inline int id(int x,int y) { return (x-1)*m+y; }

inline void addEdge(int u,int v,int w) {
    static int cnt=0;
    e[++cnt]=(Edge){v,w,head[u]},head[u]=cnt;
}

struct node { int u,d; };
bool operator <(node a,node b) { return a.d>b.d; }

inline void dijkstra(int s,int lx,int ly,int rx,int ry) {
    for (re int i=lx;i<=rx;++i)
        for (re int j=ly;j<=ry;++j)
            dis[id(i,j)]=1e9;
    priority_queue<node> Q; Q.push((node){s,0}); dis[s]=0;
    while (!Q.empty()) {
        node tp=Q.top(); Q.pop();
        int u=tp.u,d=tp.d;
        if (dis[u]!=d) continue;
        for (re int i=head[u];i;i=e[i].nxt) {
            int v=e[i].v,w=e[i].w;
            if (x[v]<lx||x[v]>rx||y[v]<ly||y[v]>ry) continue;
            if (d+w<dis[v]) dis[v]=d+w,Q.push((node){v,dis[v]});
        }
    }
}

inline void solve(int ql,int qr,int lx,int ly,int rx,int ry) {
    if (ql>qr) return;
    if (rx-lx>=ry-ly) {
        int mid=(lx+rx)>>1;
        for (re int i=ly;i<=ry;++i) {
            dijkstra(id(mid,i),lx,ly,rx,ry);
            for (re int j=ql;j<=qr;++j)
                chkmin(ans[q[j].id],dis[q[j].s]+dis[q[j].t]);
        }
        int ls=0,rs=0;
        for (re int i=ql;i<=qr;++i) {
            int s=q[i].s,t=q[i].t;
            if (x[s]<mid&&x[t]<mid) lq[++ls]=q[i];
            if (x[s]>mid&&x[t]>mid) rq[++rs]=q[i];
        }
        for (re int i=1,j=ql;i<=ls;++i,++j) q[j]=lq[i];
        for (re int i=1,j=ql+ls;i<=rs;++i,++j) q[j]=rq[i];
        solve(ql,ql+ls-1,lx,ly,mid-1,ry);
        solve(ql+ls,ql+ls+rs-1,mid+1,ly,rx,ry);
    } else {
        int mid=(ly+ry)>>1;
        for (re int i=lx;i<=rx;++i) {
            dijkstra(id(i,mid),lx,ly,rx,ry);
            for (re int j=ql;j<=qr;++j)
                chkmin(ans[q[j].id],dis[q[j].s]+dis[q[j].t]);
        }
        int ls=0,rs=0;
        for (re int i=ql;i<=qr;++i) {
            int s=q[i].s,t=q[i].t;
            if (y[s]<mid&&y[t]<mid) lq[++ls]=q[i];
            if (y[s]>mid&&y[t]>mid) rq[++rs]=q[i];
        }
        for (re int i=1,j=ql;i<=ls;++i,++j) q[j]=lq[i];
        for (re int i=1,j=ql+ls;i<=rs;++i,++j) q[j]=rq[i];
        solve(ql,ql+ls-1,lx,ly,rx,mid-1);
        solve(ql+ls,ql+ls+rs-1,lx,mid+1,rx,ry);
    }
}

int main() {
    n=read(),m=read();
    for (re int i=1;i<=n;++i)
        for (re int j=1;j<=m;++j)
            x[id(i,j)]=i,y[id(i,j)]=j;
    for (re int i=1;i<=n;++i)
        for (re int j=1;j<m;++j) {
            int w=read();
            addEdge(id(i,j),id(i,j+1),w);
            addEdge(id(i,j+1),id(i,j),w);
        }
    for (re int i=1;i<n;++i)
        for (re int j=1;j<=m;++j) {
            int w=read();
            addEdge(id(i,j),id(i+1,j),w);
            addEdge(id(i+1,j),id(i,j),w);
        }
    int Q=read();
    for (re int i=1;i<=Q;++i) {
        int lx=read(),ly=read(),rx=read(),ry=read();
        q[i]=(Query){i,id(lx,ly),id(rx,ry)};
    }
    memset(ans,0x3f,sizeof(ans)); solve(1,Q,1,1,n,m);
    for (re int i=1;i<=Q;++i) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}
最后修改:2019 年 09 月 26 日 01 : 13 PM