这是一篇文化课笔记,而不是 OI 笔记。

同角三角函数的基本关系

$$ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 $$

$$ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $$

诱导公式

公式一

$$ \sin(\alpha+k\cdot 2\pi)=\sin\alpha\;(k\in\mathbb{Z}) $$

$$ \cos(\alpha+k\cdot 2\pi)=\cos\alpha\;(k\in\mathbb{Z}) $$

$$ \tan(\alpha+k\cdot 2\pi)=\tan\alpha\;(k\in\mathbb{Z}) $$

公式二

$$ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha $$

$$ \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha $$

$$ \tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha $$

公式三

$$ \sin(-\alpha)=-\sin\alpha $$

$$ \cos(-\alpha)=\cos\alpha $$

$$ \tan(-\alpha)=-\tan\alpha $$

公式四

$$ \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha $$

$$ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha $$

$$ \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha $$

公式五

$$ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha $$

$$ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha $$

公式六

$$ \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha $$

$$ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha $$

和角公式

$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta $$

$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta $$

$$ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} $$

差角公式

$$ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta $$

$$ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta $$

$$ \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} $$

倍角公式

$$ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha $$

$$ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha $$

$$ \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} $$

半角公式

$$ \sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2} $$

$$ \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2} $$

$$ \tan^2\alpha=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} $$

和差化积公式

$$ \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $$

$$ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $$

$$ \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $$

$$ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $$

积化和差公式

$$ \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right] $$

$$ \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right] $$

$$ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right] $$

$$ \sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right] $$

升幂公式

$$ 1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha $$

$$ 1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha $$

降幂公式

$$ \cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2} $$

$$ \sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2} $$

辅助角公式

$$ a\sin x+b\cos y=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+\varphi\right) $$

其中

$$ \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

最后修改:2019 年 12 月 20 日 10 : 57 PM