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分析

令 $n=N/2$ ,那么题目中的范围就是 $x,y,z\in[-n,n]$ 。

容易得到答案为

$$ \left(6\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n[\gcd(i,j,k)=1]\right)+\left(12\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=1]\right)+6 $$

可以理解成三维都不为 $0$ 的加上一维为 $0$ 的再加上两维为 $0$ 的。

第一项莫比乌斯反演得到

$$ 6\sum_{i=1}^n\mu(i)\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor^3 $$

第二项莫比乌斯反演得到

$$ 12\sum_{i=1}^n\mu(i)\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor^2 $$

线性筛预处理 $\mu$ 的前缀和,然后数论分块计算即可。

代码

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//   author: M_sea
//   website: http://m-sea-blog.com/
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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define re register
using namespace std;
typedef long long ll;

inline int read() {
    int X=0,w=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') w=-1; c=getchar(); }
    while (c>='0'&&c<='9') X=X*10+c-'0',c=getchar();
    return X*w;
}

const int N=200000+10;

int p[N],v[N],mu[N],cnt=0;

inline void sieve(int n) {
    mu[1]=1;
    for (re int i=2;i<=n;++i) {
        if (!v[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for (re int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j) {
            v[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]) mu[i*p[j]]=-mu[i];
            else { mu[i*p[j]]=0; break; }
        }
    }
    for (re int i=1;i<=n;++i) mu[i]+=mu[i-1];
}

int main() {
    sieve(200000); int n,_=0;
    while (n=read()) {
        n/=2; ll ans=0;
        for (re int l=1,r;l<=n;l=r+1) {
            r=n/(n/l); ll t=n/l;
            ans+=(8*t*t*t+12*t*t)*(mu[r]-mu[l-1]);
        }
        printf("Crystal %d: %lld\n",++_,ans+6);
    }
    return 0;
}
最后修改:2019 年 09 月 27 日 01 : 49 PM