洛谷5176 公约数

Luogu

分析

首先要知道一个性质: $\displaystyle\gcd(ij,jk,ki)=\frac{\gcd(i,j)\gcd(j,k)\gcd(k,i)}{\gcd(i,j,k)}$ 。这个东西可以通过唯一分解定理证明。

把这个东西代回去得到:

$$\displaystyle\begin{aligned}\text{原式}&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^p\gcd(i,j)\gcd(j,k)\gcd(k,i)\\&\left(\frac{\gcd(i,j)}{gcd(i,k)\gcd(j,k)}+\frac{\gcd(i,k)}{\gcd(i,j)\gcd(j,k)}+\frac{\gcd(j,k)}{\gcd(i,j)\gcd(i,k)}\right)\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^p\gcd(i,j)^2+\gcd(j,k)^2+\gcd(k,i)^2\\&=\left(p\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^2\right)+\left(n\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^p\gcd(i,j)^2\right)+\left(m\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^p\gcd(i,j)^2\right)\end{aligned}$$

只要考虑怎么求出 $\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)^2$ 即可。可以发现就是 这个题 $k=2$ 时的版本,直接复制过来即可。

代码

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//   author: M_sea
//   website: http://m-sea-blog.com/
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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define re register
typedef long long ll;
using namespace std;

inline int read() {
    int X=0,w=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') w=-1; c=getchar(); }
    while (c>='0'&&c<='9') X=X*10+c-'0',c=getchar();
    return X*w;
}

const int N=2e7+10;
const int mod=1e9+7;

inline int qpow(int a,int b) {
    int ans=1;
    for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
        if (b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
    return ans;
}

int n,m;
int p[N],v[N],tot;
int f[N],s[N],sum[N];

inline void sieve(int n) {
    v[1]=1,f[1]=1;
    for (re int i=2;i<=n;++i) {
        if (!v[i]) p[++tot]=i,s[tot]=1ll*i*i%mod,f[i]=s[tot]-1;
        for (re int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j) {
            v[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0) { f[i*p[j]]=1ll*f[i]*s[j]%mod; break; }
            else f[i*p[j]]=1ll*f[i]*f[p[j]]%mod;
        }
    }
    for (re int i=1;i<=n;++i) sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%mod;
}

inline int calc(int n,int m) {
    if (n>m) swap(n,m);
    ll ans=0;
    for (re int l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        ans=(ans+1ll*(n/l)*(m/l)%mod*(sum[r]-sum[l-1])%mod)%mod;
    }
    return (ans+mod)%mod;
}

int main() {
    sieve(2e7);
    int T=read();
    while (T--) {
        int n=read(),m=read(),p=read();
        printf("%d\n",(1ll*n*calc(m,p)+1ll*m*calc(n,p)+1ll*p*calc(n,m))%mod);
    }
    return 0;
}
最后修改:2019 年 09 月 27 日 01 : 08 PM

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