洛谷3704 [SDOI2017]数字表格

Luogu

BZOJ

分析

不会 $\mathsf{\color{black}{x}\color{red}{gzc}}$ 的高级方法qwq

设 $f(i)$ 为斐波那契数列的第 $i$ 项。

$$ \begin{aligned} &\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf(\gcd(i,j))\\ =&\prod_{d=1}^nf(d)\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m[\gcd(i,j)=d]\\ =&\prod_{d=1}^nf(d)^{\sum_{i=1}^{n/d}\sum{j=1}^{m/d}[\gcd(i,j)=1]}\\ =&\prod_{d=1}^nf(d)^{\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)\left\lfloor\frac{n}{id}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{id}\right\rfloor}\\ =&\prod_{T=1}^n\left(\prod_{d|T}f(d)^{\mu\left(\frac{T}{d}\right)}\right)^{\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor} \end{aligned} $$

暴力预处理出括号里的部分,然后数论分块计算即可。

代码

//It is made by M_sea
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define re register
using namespace std;

inline int read() {
    int X=0,w=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') w=-1; c=getchar(); }
    while (c>='0'&&c<='9') X=X*10+c-'0',c=getchar();
    return X*w;
}

const int N=1000000+10;
const int mod=1e9+7;

int p[N],v[N],tot=0;
int mu[N],f[N],g[N],sum[N];

inline int qpow(int a,int b) {
    int ans=1;
    for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
        if (b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
    return ans;
}

inline void sieve(int n) {
    f[1]=g[1]=mu[1]=v[1]=1;
    for (re int i=2;i<=n;++i) {
        f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod,g[i]=qpow(f[i],mod-2);
        if (!v[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for (re int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j) {
            v[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]) mu[i*p[j]]=-mu[i];
            else break;
        }
    }
    for (re int i=0;i<=n;++i) sum[i]=1;
    for (re int i=1;i<=n;++i) {
        if (!mu[i]) continue;
        for (re int j=i;j<=n;j+=i)
            sum[j]=1ll*sum[j]*(mu[i]>0?f[j/i]:g[j/i])%mod;
    }
    for (re int i=1;i<=n;++i) sum[i]=1ll*sum[i-1]*sum[i]%mod;
}

int main() {
    sieve(1e6);
    int T=read();
    while (T--) {
        int n=read(),m=read();
        if (n>m) swap(n,m);
        int ans=1;
        for (re int l=1,r;l<=n;l=r+1) {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            int t=1ll*sum[r]*qpow(sum[l-1],mod-2)%mod;
            ans=1ll*ans*qpow(t,1ll*(n/l)*(m/l)%(mod-1))%mod;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}
最后修改:2019 年 09 月 26 日 12 : 54 PM

发表评论