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【笔记】导数&微积分学习笔记
导数定义设原函数为$f(x)$,它的导函数为$f'(x)$,那么有:例题求$\int_{-2}^{2}-\frac...
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2018/12

【笔记】导数&微积分学习笔记

导数

定义

设原函数为$f(x)$,它的导函数为$f'(x)$,那么有:

$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

直观上可以理解为在函数一点处的切线的斜率。

当对于$f(x)$的定义域上任意一点,该点都有导数的话,则称$f(x)$是可导的。

公式

初等函数

函数原函数导函数
常函数$y=C\ (C\text{为常数})$$y'=0$
指数函数$\begin{matrix}y=a^x\\y=e^x\end{matrix}$$\begin{matrix}y'=a^x\ln a\\y'=e^x\end{matrix}$
幂函数$y=x^n$$y'=nx^{n-1}$
对数函数$\begin{matrix}y=\log_a x\\y=\ln x\end{matrix}$$\begin{matrix}y'=\frac{1}{x\ln a}\\y'=\frac{1}{x}\end{matrix}$
正弦函数$y=\sin x$$y'=\cos x$
余弦函数$y=\cos x$$y'=-\sin x$
正切函数$y=\tan x$$y'=\sec^2 x$
余切函数$y=\cot x$$y'=-\csc^2 x$
正割函数$y=\sec x$$y'=\sec x\tan x$
余割函数$y=\csc x$$y'=-\csc x\cot x$
反正弦函数$y=\arcsin x$$y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{\small2}}}$
反余弦函数$y=\arccos x$$y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{\small2}}}$
反正切函数$y=\arctan x$$y'=\frac{1}{1+x^{\small2}}$
反余切函数$y=\operatorname{arccot} x$$y'=-\frac{1}{1+x^{\small2}}$
双曲线函数$y=\operatorname{sh} x$$y'=\operatorname{ch} x$

复杂函数

导数的四则运算

若$u(x),v(x)$皆可导,则有:

$$(u\pm v)'=u'\pm v'$$

$$(uv)'=u'v+uv'$$

$$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

原函数和反函数的导数关系

$y=f(x)$的反函数是$x=g(y)$,则$x'y'=1$。

复合函数的导数

复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。

hbx:就是假设复合函数为$f(g(x))$,那么$f'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$

链式法则

高阶函数求导

$$(uv)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^ku^{n-k}v^k$$

其实就是二项式定理

然后这东西我也不会

例题

例一

求$f(x)=-\frac{1}{6}x^3+2x$的导函数。

$\large f'(x)=-\frac{1}{6}\times 3 x^2 + 2x$

$\large\qquad\quad=-\frac{1}{2}x^2+2$

例二

求$f(x)=\sin 2x\cdot \ln x$的导函数。

$\large \text{易得}f(x)=2\sin x\cdot \cos x\cdot\ln x$

$\large f'(x)=2\cos x\cdot \cos x\cdot \ln x-2\sin x\cdot \sin x\cdot\ln x+2\sin x\cdot \cos x\cdot \frac{1}{x}$

$\large\qquad\quad=2\cos^2 x\ln x+\frac{1}{x}\sin 2x$

例三

求$f(x)=\begin{cases}x,&x<0\\\ln\ (x+1),&x\geq0\end{cases}$的导函数。

$\large\text{当}x<0\text{时},f'(x)=1$

$\large\text{当}x\geq 0\text{时},f'(x)=\frac{1}{x+1}$

$\large\therefore f'(x)=\begin{cases}1,&x<0\\\frac{1}{x+1},&x\geq0\end{cases}$

例四

求$x^x$的导函数。

$\large \text{设}g(x)=x\ln x,f(x)=e^x$

$\large\text{显然有}f(g(x))=e^{x\ln x}=x^x$

$\large\text{根据链式法则,}$

$\large f'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$

$\large\qquad\quad =(e^{x\ln x})'\cdot (x\ln x)'$

$\large\qquad\quad =e^{x\ln x}\cdot (\ln x+1)$

$\large\qquad\quad =x^x\cdot (\ln x+1)$

微分

这东西好像没什么用,先不写

若函数$y=f(x)$在点$x_0$的增量可表示为

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)\quad (A\text{是与}\Delta x\text{无关的常数})$$

则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微,$A\Delta x$称为$f(x)$在点$x_0$处的微分,记作$\mathrm{d} y$,即$\mathrm{d} y=A\Delta x$。

几何意义上表示切线纵坐标的增量。

不定积分

求$f(x)$的不定积分,就是求出一个函数$F(x)$,使得$F'(x)=f(x)$。

$$\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$$

$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

定积分

定义

定积分是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的积分和的极限。

牛顿-莱布尼茨公式

若$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数,且$F'(x)=f(x)$,则有

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

例题

求$\int_{-2}^{2}-\frac{1}{2}x^2+2\,dx$。

这本来是我们一次小考的题的标算

$\large\text{易得}(-\frac{1}{6}x^3+2x)'=-\frac{1}{2}x^2+2$
$\large\qquad\int_{-2}^2-\frac{1}{2}x^2+2\,dx$
$\large=(-\frac{1}{6}x^3+2x)|_{-2}^2$
$\large=\frac{16}{3}$

最后修改:2018 年 12 月 09 日 09 : 03 PM

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1 条评论

  1. smy

    您太强了%%%